Rumus Menghitung Volume Dan Luas Bola

Dalam geometri, bola adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tak hingga lingkaran berjari-jari sama panjang dan berpusat pada satu titik yang sama. Bola hanya memiliki 1 sisi. Bola merupakan banngun ruang (3 dimensi) yang terbentuk dari setengah lingkaran yang diputar menurut diameternya dan berpusat pada satu titik. Bola hanya mempunyai satu 1 yang disebut dinding bola dengan jarak dinding dengan titik pusat sama yang disebut diameter.

Seperti halnya pada lingkaran, pada bola terdapat yang namanya jari-jari. Dengan hanya mengetahui panjang jari-jari bola anda sudah bisa untuk mendapatkan volume dan luas bola. Jika anda coba pahami sebenarnya lingkaran itu bisa dibuat hanya memutar garis dengan jarak tertentu (jari-jari) dari titik pusat dengan acuan bidang datar. Sedangkan pada bola jika anda mengacu kesegala arah.

Rumus Volume Bola | Rumus Luas Bola

Diketahui :



r = jari-jari

D = garis tengah

Phi = 3,14 atau 22/7



Volume Bola = 4/3 x phi x jari-jari x jari-jari x jari-jari

Luas Bola = 4 x phi x jar-jari x jari-jari

Contoh Soal Menghitung Volume Bola

Adik membeli sebuah tempat minum berbentuk setengah bola, dengan diameter  14 cm, jika adik ingin mengisinya penuh dengan susu, berapa volume susu yang diperlukan?Jawab

Volume bola  = 4/3 Π r3

Volume setengah bola  = 2/3Π r3

V= 2/3 x 22/7 x 7 x 7 x 7

V = 2 x 22  = 718,67 cm3






Pembuktian Rumus Volume Bola

Rumus Volume bola bisa dibuktikann dengan beberapa cara diantaranya dengan menggunakan prinsip cavaleri dan menggunakan integral.

Pembuktian Rumus Volume Bola dengan Prinsip Cavalieri

Bonaventura Cavalieri, seorang ahli matematika dari itali mengatakan,

“Jika dua bangun ruang memiliki luas bidang irisan yang sama jika diiris pada ketinggian yang sama, kedua bangun ruang tersebut memiliki volume yang sama.”

Simak gambar berikut ini







Gambar Kiri : gambar tabung dengan tinggi r dan jari-jari r yang dipotong oleh kerucut dengan tinggi r dan jari-jari r

Gambar Kanan : setengah tabung dengan jari-jari r

Kita akan membuktikan jika volume dari silinder yang telah dipotong dengan kerucut apakah sama dengan volume setengah bola yang ada di kiri. Kita akan coba membuktikan rumus volume tabung 4/3 Π r^{3. Untuk membuktikan apakah volume kedua benda ruang di atas sama kita memakai dalil cavalieri diatas.}

^{Pertama, kita coba memotong masing-masing bangun ruang pada tinggi yang sama untuk mendapatkan dua bidang iris. Misal kita ambil 9 cm, maka}









Luas 1 = Luas Lingkaran Besar (r=15) – Luas Lingkaran Kecil (r=a)

karena tinggi silinder dan jari-jari silinder sama, maka antar antar tinggi silinder, jari-jari, bidang miring irisan kerucut membentuk segitiga sama kaki, jadi dengan prinsip kesebangunan maka didapat nilai a =9

Luas 1 = π(15²) – π(9²) = π(225 – 81) = 144π

Luas 2 = Luas Lingkaran dengan jari-jari b

b dapat dicari dengan phytagoras,

b² + 9² = 15²

b²= 225 -81

b²= 144

b= 12

Luas 2 = π(12²) = 144π (terbukti)

Volume Setengah Bola = Volume Silinder – Volume Kerucut

Volume Bola = 2 (Volume Silinder – Volume Kerucut)

Volume Bola = 2 (πr³ – 1/3 πr³)

Volume Bola = 2. 2/3 πr³ = 4/3 πr³ (rumus volume bola)

Pembuktian Rumus Volume Bola dengan Integral

Pembuktian rumus volume Bola bisa menggunakan integral untuk menentukan volume dari benda (luasan) yang diputar menurut sumbu tertentu.  Lingkaran punya persamaan x² + y² = r² atau y = √(r²- x²).  Kita ambil luasan di bawah kurva setengah lingkaran, seperti gambar di bawah, lalu kita putas (dengan integral) untuk mendapatkan volum setengah bola dan mengalikannya dengan 2 untuk mendapatkan rumus volume bola. Silahkan dicoba ya, pembuktian rumus volume bola dengan integral.